Operaciones entre Números

1.-La suma es conmutativa        a+b= b+a

2.-La suma es asociativa           a+(b+c)= (a+b) + c

3.- Existen números llamados ceros o números aditivos  a+0= a

4.- Para todo número existe su inverso aditivo ejemplo;   a+(a-a)= 0

5.-El producto es conmutativo            a x b= b x a

6.- el producto es asociativo                a x (b x c) = ( a x b) = c

7.-Existe un numero llamado uno o neutro multiplicado tal que   a x 1= a

8.- Para todo número a x 0 existe su inverso multiplicativo
                           1/a, tal que a x 1/a= 1

Examen de porcentajes

1.        De los 800 alumnos de un colegio, han ido de viaje 600. ¿ que porcentaje de alunos ha ido de viaje? R= 75%

2.       Una moto cuyo precio era de 5.000, cuesta en la actualidad 250 mas. ¿Cuál es el porcentaje de aumento? R= 5%

3.       Al adquirir un vehículo cuyo precio es de 8800, nos hacen un descuento del 7.5%. ¿Cuánto hay que pagar por el vehículo? R= $ 8150

4.       Al comprar un monitor que cuesta 450 nos hacen un descuento del 8%. ¿Cuánto tenemos que pagar? R= $414

5.       Se vende un articulo con una ganancia del 15% sobre el precio de costo. Si se ha comprado en 80. Halla el precio de venta. R=  $68

6.       Cual sera el precio que hemos de marcar en un articulo cuya compra ha ascendido a 180 para ganar al venderlo el 10%. R= $198

7.       ¿ que precio de venta hemos de poner en un articulocomprado a 280, para perder el 12% sobre el precio de venta? R= $ 246.4

8.       Se vende un objeto perdiendo el 20% sobre el precio de compra. Hallar el precio de venta del citado articulo cuyo valor de compra fue de 150. R= $120

9.       Si pedimos un prestamo de $ 2000 y nos cobran un interés del 9% anual, cuanto deberemos pagar al final del año? R= $ 2180

10.   Si aun no podemos pagar la deuda del problema anterior, y se prolonga la deuda un año mas de tiempo para liquidar la deuda. ¿Cuánto debemos de pagar al final de los dos años? R= $ 2376.2

11.   La siguiente tabla muestra las ventas de pantallas electrónicas durante los años 2002 y 2003. Completar las cifras faltantes.

	a	b	c
Tipo	2002	2003	Variacion
lCD	130	670	415.38%
Plasma	380	990.01	160.53%
Retroproyector	470	490	4.26%
Proyector		170	41.67%
Tipos nuevos		2320	110.91%
Tuvo	10410	9290	-10.76%
total		13930

 Ejercicio 2

Escribe en forma desarollada los siguientes numeros reales:

a)      1.001 x 10³         = 1001

                              1x10³  +  1x10⁰

                               1000   +  1

b)      7.9 x 10⁷               = 79 000 000

                               7x10⁷                  +    9x10⁶

                                 70 000 000   +    9 000 000

c)      5.421023 x 10³   = 5421.023

                              5x10³  + 4x10²  + 2x10¹  + 1x10⁰  + 23x10^-3

                               5000   + 400     + 20       + 1         +  0.023

d)      3.00005 x 10²       = 300.005

                                3x10²  +     5x10^-3

                                300     +    .005

e)      6.3 x 10⁴                    = 63 000

                                6x10⁴      +   3x10³

                                 60000   +   3000

f)       1.010101 x 10⁸   = 101 010 100

                                1x10⁸                 +  1x10⁶               + 1x10⁴      + 1x10² 

                                 100 000 000 +   1 000 000  + 10 000 + 100

g)      5.8 x 10²                    =580

                                  5x10²  +  8x10¹

                                  500     +  80

h)      2.33 x 10¹               =  23.3

                                2x10¹    + 3x10⁰  + 3x10^-1

                                 20        + 3         + .3

 Ejercicio 3

 Utilice notacion exponencial con una sola cifra entera para escribir los siguientes numeros:

a)     0.124          = 124x10^-3

b)    0.000675    =6.75x10^-4

c)     0.005           = 5x10^-3

d)    0.000011    =1.1x10^-5

e)     0.0564      = 56.4x10^-3

f)      0.009742 = 9.742x10³

g)            =847x10^-3

h)    0.0491     =49.1x10^-3

Metodo grafico

Cada una de las ecuaciones que forman un sistema lineal de dos ecuaciones con dos incógnitas es la 

El proceso de resolución de un sistema de ecuaciones mediante el método gráfico se resume en las siguientes fases:

1. Se despeja la incógnita y en ambas ecuaciones.
2. Se construye, para cada una de las dos funciones de primer grado obtenidas, la tabla de valores correspondientes.
3. Se representan gráficamente ambas rectas en los ejes coordenados.
4. En este último paso hay tres posibilidades:
   1. Si ambas rectas se cortan, las coordenadas del punto de corte son los únicos valores de las incógnitas x e y. Sistema compatible determinado.
   2. Si ambas rectas son coincidentes, el sistema tiene infinitas soluciones que son las respectivas coordenadas de todos los puntos de esa recta en la que coinciden ambas. Sistema compatible indeterminado.
   3. Si ambas rectas son paralelas, el sistema no tiene solución. Sistema incompatible.

Veamos, por última vez, el ejemplo visto en los métodos analíticos para resolverlo gráficamente y comprobar que tiene, se use el método que se use, la misma solución. recordemos de nuevo el enunciado:

Entre Ana y Sergio tienen 600 euros, pero Sergio tiene el doble de euros que Ana. ¿Cuánto dinero tiene cada uno?.

Llamemos x al número de euros de Ana e y al de Sergio. Vamos a expresar las condiciones del problema mediante ecuaciones: Si los dos tienen 600 euros, esto nos proporciona la ecuación x + y = 600. Si Sergio tiene el doble de euros que Ana, tendremos que y = 2x. Ambas ecuaciones juntas forman el siguiente sistema:

   x + y = 600
2x - y = 0

Para resolver el sistema por el método gráfico despejamos la incógnita y en ambas ecuaciones y tendremos:

      y = -x + 600
y = 2x

Vamos ahora, para poder representar ambas rectas, a calcular sus tablas de valores:

y = -x + 600		y = 2x
x	y	x	y
200	400	100	200
600	0	200	400

Con estas tablas de valores para las dos rectas y eligiendo las escalas apropiadas en los ejes OX y OY, podemos ya representar gráficamente:

Si observamos la gráfica, vemos claramente que las dos rectas se cortan en el punto (200, 400), luego la solución del sistema es x = 200 e y = 400. Por tanto, la respuesta al problema planteado es que Ana tiene 200 euros y Sergio tiene 400 euros, es decir, el mismo resultado, evidentemente, que habíamos obtenido con los tres métodos analíticos.

Método suma y resta o de reduccion 

https://Pixton.com/mx/:r3rym5md

Los siguientes pasos nos facilitan la aplicación del método:
   a) Se multiplican los miembros de una o de las dos ecuaciones por una cantidad constante
       apropiada para obtener ecuaciones equivalentes que tengan igual coeficiente para una de las      
       incógnitas.
   b) Por suma o resta se elimina una de las incógnitas.
   e) Se resuelve la ecuación lineal resultante.
   f) Se sustituye el valor determinado en cualquiera de las ecuaciones originales para,
   encontrar el valor de la otra incógnita.

Si las ecuaciones del sistema tienen alguna de las incógnitas de igual coeficientes el paso
primero se omite. EJEMPLO:


1. Resolver el sistema

(1)  4x + 6y = -3
(2)  5x + 7y = -2

Multiplicar los miembros de la ecuación (1) por 5 y los de la ecuación (2) por -4; resultando que los coeficientes de "x" se igualan y son de signo contrario.

     5(4x + 6y = -3)                      20x + 30y = - 15
-4(5x + 7y = -2)                    -20x - 28y = 8

Sumando algebraicamente ambas ecuaciones, resulta:

  20x + 30y = - 15
- 20x - 28y =    8
  0      2y =   - 7  

Resolviendo la ecuación, tenemos:   y = - 7/2

Sustituyendo el valor determinado en cualquiera de las ecuaciones originales, se obtiene:


 (1)      4x + 6(-7/2) = - 3    
    4x - 21 = - 3
     4x = - 3 + 21
    x = 18 / 4
 x = 9/2

       (2)     5(9/2) + 7(-7/2) = - 2  
        45/2 - 49/2 = -
-4/2 = -2
-2 = -2            
Su comprobación es:

4(9/2) + 6(-7/2) = - 3
                18-21 = -3
                      -3 = -3


Por lo tanto los valores que satisfacen al sistema son:
x = 9/2   y      y = -7/2

Método sustitución

-como su nombre lo indica, consiste en despejar una variable de una ecuación y sustituirla en la otra.


5C + 4P= 84......... ecuación 1

C - P= 6......ecuación 2

Pasos para resolverlo

a)Despejamos a)la variable "C" (incógnita) de la ecuación 2 utilizando las propiedades de la igualdad

C - P= 6

C = 6+P.... ecuación 3


b)sustituimos la ecuación 3 en la ecuación 1

5(6 + P) + 4P= 84

c)Resolver la ecuación resultante

5(6 + P) + 4 P= 84
      30+5P+4P=84
           30+ 9P=84
                  9P=84 - 30
                  9P=54
                  P=54/9


                   P=6



d)El valor que obtuviste se sustituye en la ecuación 3


                               C=6+P
                               C= 6+6

                               C=12



Ecuación 1                                       Ecuación 2
  5C+4P=84                                      C + P = 6
  5(12)+4(6)=84                                12+ 6 = 6
   60+24=84                                          6 = 6
    84=84

Diferentes Métodos

- De sustitución

-De Igualación

-De suma, resta o igualación

-Gráfico

-Con calculadora

-Por determinante

Sistema Ecuaciones Lineales

Luis compro 5 cuadernos y 4 plumones y gasto el total de $84.00 si la diferencia en el costo del cuaderno es de $6

¿Cuánto le costó cada cuaderno y cada plumón?

¿que harías para resolver el problema?


C------> costo de cuaderno

P-------> costo de plumón

5C+4p=84 ( 5 cuadernos + 4 plumones= 84.00

C - P= 6 ( diferencia entre el costo del cuaderno y el plumón)

El resultado; Un sistema de Ecuaciones

Un sistema de ecuaciones lineales 2 x 2 consiste en dos ecuaciones de primer grado con dos variables cada una.

Números primos menores a 100

1,2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67,71,73,79,83,89 y 97

Factor comun

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Sacar Factor Común

Cuando ves que una expresión algebraica de más de un término tienen en común uno o varios factores decimos que podemos sacar el factor o factores comunes:

Por ejemplo: 36 + 24 tienen en común a 12 como factor porque  Esto quiere decir que 36 + 24 es igual a 12 x 3 + 12 x 2

Vemos que en la suma: 12 x 3 + 12 x 2 cada término tiene a 12 como factor común.

36=12 x 3 y  24=12 x 2
Para sacar el factor común debes hacer dos cosas:
1ª.- Escribir el factor común.

2ª.- Abrir un paréntesis y escribir dentro de él el cociente de cada término por el valor que está delante del paréntesis.
36 + 24 = 12( 3 + 2)
El factor común es 12.
Lo escribimos y abrimos un paréntesis y dentro de él escribimos el cociente de cada término entre 12: 36 entre 12 = 3
24 entre 12 = 2

1 Saca el factor común en: 25 + 15
Respuesta: 5(5 + 3)

2 Saca el factor común en: 25x +15x

Respuesta: 5x(5 + 3)

Solución:
Como sabemos que los números y letras de un término se multiplican entre sí los consideramos factores. En este ejercicio el factor ‘x’ es común para los dos sumandos, por eso, podemos sacarlo fuera del paréntesis.

3 Sacar el factor común en 10m – 5mn

Respuesta: 5m(2 – n)

4 Sacar el factor común en 10m^{3 –} 5mm  

Respuesta: 5m(2m²-n)

Términos importantes en la Factorización

1.- Una Constante es un número que no cambia de valor y se denota generalmente con alguna de las primeras letras del abecedario, como a, b, c..........


2.-Una Variable representa un numero que cambia de valor y se representa generalmente con x, y, z..

3.- Una combinación de constantes y variables con la operación producto y división se llama termino por ejemplo; 2a, 3b, 2abx, 4xy8, 2/a........

4.- Una combinación de términos con la operación suma y resta llama expresión, por ejemplo a + b. 3a = 2z

Pasos para la Factorización

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A) Todos los números racionales tiene una expansión

a) 1/4=0.25

b)1/7=0.142857

c)1/11=0.090909..........


B) Si un número tiene una expansión decimal infinita y no periódica, entonces no es racional

C) Números reales: es la sig. conjunto

                                                     R=QUll

Factorizacion

Tiene por objetivo dar algunas técnicas usadas para factorizar expresiones algebraicas,

Notación
Conjunto de números

1-Números naturales

                        N=( 1,2,3......)

2-Números enteros

                         Z=(....-2, -1, 0, 1, 2.....)


3-Números racionales

                         a=(a/b) a, b E

Representacion de los nùmeros enteros con base 10

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Todo numero entero a C Z se representan en base 10 y de hecho a representacion de los numeros naturales es en base 10, esto quiere decir lo siguiente.....


Ejemplo: 
  a) representa en metros, en base 10 la superficie de siembra de Casa Madero que son 300 hectarias
1he =10 000 metros
300 x 10 000= 3000000

 3 × 10⁶
3 000 000

b)representa en base 10 la distancia media entre el sol y la tierra

149 597 870 700 metros

1.49597870700 x 10¹¹

1x10¹¹              + 4x10¹⁰        +9x  10⁹           + 5x10⁸ +      9x10⁷              
+7x10⁶   +8x10⁵    +7x10⁴ +    7x10²

        

100 000 000 000 + 40 000 000 000 + 9 000 000 000 + 500 000 000 + 90 000 000 +
7 000 000 + 800 000 + 70 000 + 700               

        

Notacion Exponencial

Para ello se escribe lél n÷umero como un numero con cifra entera, multiplicando por una potencia de 10,abandonaremos este tema dividiendo la discusion en dos casos

Porcentaje simplificado

Observar que la fórmula para obtener el 45% es:

X = 15 – a/100

Esto equivale a multiplicar a* 15/100 = 0.15

Por lo tanto:

·         Para obtener el 5% de a, basta con multiplicar a 0.03

   Para obtener el 25% de a, basta con multiplicar a 0.25

Porcentaje Desconocido

Si se conoce dos números, con la regla de 3 es simple conocer qué porcentaje es uno del otro. Es decir, si se sabe que a, b qué porcentaje es a de b.

100% ----------- b

x% ------------- a

X= a*100/b=%

Qué porcentaje es 30.4 de 95

100% ----------- b

x% -------------- a

X= 30.4*100/95 = 32%

Qué porcentaje es 156 de 1950

100% ----------- b

x% -------------- a

Porcentaje conocido

Si se conoce el porcentaje de un todo, con la regal de 3, es simple conocer el todo, es decir, que si se sabe el b% es a, cual es el 100%

100% ----------- x

b% ----------- a

X= a*100/b

Si el 30% es 330, cual es el 100%

100% ----------- x

30%----------- 330

X= 330*100/30 = 1100

Si el 15% es 150, cual es el 100%

100% ----------- x

15%----------- 150

X= 150*100/15 = 1000

Porcentaje

El porcentaje és una manea practica de hablar  que ayuda a dar una idea tan inmediata de la magnitud de una cantidad respecto a otra.

La regla para obtener un porcentaje es simple, por ejemplo el 15% de a, entoces es el 100%


Ejemplo: a) 77% por 12 entre 100 = a 9.24
                 b) 29)% por 1.5 entre 100 = a 0.435


Ejemplo: En el grupo de 1ero de vitivinicultura de la utp empezamos el ciclo escolar con la cantidad de 17 alumnos, al momento contamos ya con solo 12 alumnos, ¿Como podemos conocer el porcentaje de los alumnos que se han salido? ¿ Cual es el porcentaje de alumos que quedamos?

                             5 x 100 / 17= 29.41% de alumnos que se han salido

                              12 x 100 / 17= 70.58% de alumnos que quedamos        
                              

Propiedades básicas de los números enteros

1- La suma de números se suman de dos en dos

a)  (3+5)+7=8+7
b) (7+9)+9=16+9
c) (8+3)+4=11+4

2-La suma de números enteros, es conmutativa, es decir el orden de la suma no altera el producto

a) 5+8 = 8+5
b)3+9 = 9+3
c)2+5 = 5+2

3-Resta los números enteros, es lo mismo que suma de enteros e inversos aditivos

a) 6-5-1
b) 8-3-5
c)  9-4-5

4-Todo numero entero tiene su negativo, o inverso aditivo

a) 3 es -3
b) 5 e -5
c) 8 es -8

Orden de las operaciones

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Cuando realiza operaciones aritméticas hay exactamente una respuesta correcta. Para evitar confusiones, los matemáticos han ideado un orden estándar de operaciones para los cálculos que involucran mas de una operación aritmética.

1er: Realice cualquier cálculo dentro de los paréntesis, realizando primero los más internos.

2do: Simplifique cualesquiera expresiones exponenciales.

3er: Trabaje todas las multiplicaciones y divisiones, de izquierda a derecha, como aparezcan.

4to: Trabajes todas las sumas y restas, de izquierda a derecha, como aparezcan.



Para que no se confunda recuerde el PEMDAR que es la abreviatura para (PARÉNTESIS, EXPONENTE, MULTIPLICACIÓN, DIVISIÓN, ADICIÓN Y RESTA).

Primero haz las cosas entre paréntesis. Ejemplo:

		6 × (5 + 3)	=	6 × 8	=	48
		6 × (5 + 3)	=	30 + 3	=	33	(mal)

Exponentes (potencias, raíces) antes que multiplicaciones, divisiones, adiciones o restas . Ejemplo:

		5 × 22	=	5 × 4	=	20
		5 × 22	=	102	=	100	(mal)

Multiplicar o dividir va antes que sumar o restar. Ejemplo:

		2 + 5 × 3	=	2 + 15	=	17
		2 + 5 × 3	=	7 × 3	=	21	(mal)

Aparte de eso se va de izquierda a derecha. Ejemplo:

		30 ÷ 5 × 3	=	6 × 3	=	18
		30 ÷ 5 × 3	=	30 ÷ 15	=	2	(mal)

¿Cómo me puedo acordar? ¡PEMDAR!

P	Paréntesis primero
E	Exponentes (potencias y raíces cuadradas, etc.)
MD	Multiplicación y División (de izquierda a derecha)
AR	Adición y Resta (de izquierda a derecha)

Nota: multiplicar y dividir están al mismo nivel. Sumar y restar están al mismo nivel.
		Después de hacer "P" y "E", sólo ve de izquierda a derecha haciendo las "M" o "D" cuando te encuentres una. Entonces ve de izquierda a derecha haciendo las "A" o "R" cuando las encuentres.

Nota: no hace falta que te aprendas PEMDAR si no quieres, lo importante es que te aprendas el orden de las operaciones correctamente.

Ejemplos

Ejemplo: ¿Cómo calculas 3 + 6 × 2 ?

Multiplicación antes que Adición:

Primero 6 × 2 = 12, después 3 + 12 = 15

Ejemplo: ¿Cómo calculas (3 + 6) × 2 ?

Paréntesis primero:

Primero (3 + 6) = 9, después 9 × 2 = 18

Ejemplo: ¿Cómo calculas 12 / 6 × 3 ?

Multiplicación y División están al mismo nivel, ve de izquierda a derecha:

Primero 12 / 6 = 2, después 2 × 3 = 6

Ah, sí, ¿y qué pasa con 7 + (6 × 5² + 3)?

7 + (6 × 52 + 3)
7 + (6 × 25 + 3)	Empieza dentro del paréntesis, y después haz losexponentes primero
7 + (150 + 3)	Después multiplica
7 + (153)	Después suma
7 + 153	Paréntesis hecho, la última operación es una suma
160	¡HECHO!